Waouh, t'es quand même un p'tit gars audacieux, chapeau.
Pour la question de savoir si tu peux voyager seul en étant mineur, je ne pense pas que les Coréens s'y opposent... J'ai beaucoup d'amis coréens qui, lorsqu'ils étaient ados, ont été envoyés par leurs parents à l'étranger, livrés à eux-mêmes. Certains, parfois plus jeunes que toi, ont été scolarisés en France sur plusieurs années et ils devaient gérer tout seuls le loyer, les courses, les assurances, etc. ! Et ils ne parlaient pas toujours français en arrivant.
Le Japon, vaut mieux oublier avec un petit budget. A Séoul, avec 400 euros tu peux t'en tirer à condition de faire TRES attention (et si je me mets à la place de tes parents je te préfère en Corée qu'au Vietnam ou en Thaïlande : c'est quand même un pays très tranquille où il y a peu de risques que tu te fasses voler ou agresser.)
Tu peux ouvrir facilement un compte en banque pour y déposer ton argent et le retirer à volonté avec une carte, il suffit de ton passeport et de 1 000 wons (60 cents).
Je ne sais plus très bien combien coûte un gochiwon... environ 150 euros/mois (?) : tu as une chambre meublée (4m²), avec accès à la cuisine, aux sanitaires, machine à laver, TV et internet en libre-accès à partager avec les autres locataires, riz et soupe à volonté.
Il n'y a pas vraiment d'abonnement de métro, c'est en fonction du nombre de trajets que tu fais et de leur distance (à partir de 750 wons/trajet, environ 50 centimes d'euro).
(c'est bien le prix ? je ne me souviens plus...)
Pour le téléphone, il te faudra en récupérer un sans abonnement et mettre des cartes prépayées dedans mais je ne connais plus les tarifs... ça sera sans doute équivalent à ta facture française, à peu près.
Une heure de cybercafé ne coûte pas cher, mais ça dépend du quartier et de si tu es abonné ou non. Je dirais entre 2 000 et 4 000 wons, mais sans aucune certitude. Ce sont des PC pour jouer, adaptés aux Coréens (ils ont rarement Word ou Photoshop, par exemple.)
Pour voyager en Corée, il y a beaucoup de bus pas trop chers qui font le trajet entre les grandes villes. En province, tu peux trouver des hôtels à partir de 20 000 wons par nuit, soit 12 € (il me semble, non ?) Les restaurants ne sont pas chers : entre 2 000 et 10 000 wons/repas, 1,20 € et 6 €, et après ça peut grimper très vite.
Pour les vêtements, ils sont généralement de mauvaise qualité (boutons mal cousus, tissus fragiles, coutures mal finies), assez chers et pas toujours adaptés aux Occidentaux (manches trop courtes, bustes trop longs, peu de tailles XL). Ceci dit en fouillant y'a toujours moyen de trouver des choses sympa, mais c'est pas franchement le pays que je recommanderai pour faire du shopping. On trouve maintenant des Zara, Mango, Uniqlo... qui correspondent plus à ce à quoi on est habitués en France (aussi en ce qui concerne les prix.) Comme en Corée il fait froid en hiver, vraiment très froid, et que les compagnies aériennes limitent le poids des bagages à 20kg, je ne te conseillerais pas de partir tout de suite mais d'attendre plutôt le printemps (passer l'été en Corée n'est pas non plus très agréable.)
Ca risque d'être un peu difficile de rencontrer des Coréens de ton âge : ils ne parlent pas encore très bien anglais, et sont complètement monopolisés par leurs études. Tu peux aller au sauna (à condition de ne pas y avoir été invité par un vieux monsieur ^^) à partir de 4 € (environ), au cinéma (je ne connais plus le tarif, mais c'est presque comme en France), dans les parcs d'attraction (je ne me souviens plus non plus du tarif, mais sans doute presque comme en France), marcher à la montagne (gratuit), à la Seoul Tower, etc.
Bon courage !